数学分析一

概述

本次分享为一些基础知识，介绍一些数学中广泛采用的术语与符号，以及几个基本的概念，为今后的学习做铺垫。

概念

  1. 集合
    • 由确定的一些对象汇集的总体
  2. 子集
    • 组成集合的这些对象称为集合的元素
    • x是集合E的元素记作:
      x∈Ex \in E(读作: x属于E)
    • y不是集合E的元素记作:y∉Ey \notin E(读作: y不属于E)
  3. 集合的关系
    • E的任何元素都是集合F的元素，E是F的子集，记作
      E⊂FE \subset F(读作: E包含于F)
    • 两个集合相等记作 E = F
    • 一个特殊的集合，空集：不包含任何元素的集合ϕ\phi
  4. 集合的运算
    • E⋃FE \bigcup F 由E的所有元素与F的所有元素合在一起组成的集合（并集）
    • E⋂FE \bigcap F 由E和F共同的元素组成的集合 （交集）
    • E∖FE \setminus F 由属于E但不属于F的元素组成的集合 （差集）
  5. 区间
    • 开区间
      (a,b) 表示 a < x < b
    • 左开右闭区间
      (a,b] 表示 a < x ≤ b
    • 左闭右开区间
      [a,b) 表示 a ≤ x < b
    • 闭区间
      [a,b] 表示 a ≤ x ≤ b
  6. 逻辑符号
    • α 和 β是两个判断，当α成立的时候，β也成立，我们说α 能推导出 β，记作α⇒β\alpha \Rightarrow \beta
    • 如果 α⇒β,\alpha \Rightarrow \beta , 并且 β⇒α\beta \Rightarrow \alpha 那 α\alpha 与 β\beta 等价, 记作α⇔β\alpha \Leftrightarrow \beta
  7. 函数
    • 变量y随着变量x的变化而变化
  8. 映射
    • 对变量x的任何一个值，有变量y的唯一确定的值与之对应
    • 如果D中的任何一个元素，有集合E中的唯一一个元素与之对应，那么f就是从D到E的一个映射，记为 f:D→E\begin{aligned} f : D \rightarrow E \end{aligned}
    • 元素之间的对应关系如下表示 f : x ↦ x2{x}^{2}
      假设 f:D→Ef : D \rightarrow E 是一个映射，g:G→Hg : G \rightarrow H也是一个映射，如果f(D)⊂G,f(D)\subset G,
      那么从ξ∈D\xi \in D开始，相继经过f和g的作用，得到g(f(ξ))g(f(\xi))这样的关系ξ↦g(f(ξ))\xi \mapsto g(f(\xi)) 对于映射 f⋅gf\cdot g 和 g⋅fg\cdot f 不一定都有意义，有意义也不一定相同
      比如 f(x)=x2,g(x)=sinxf(x)={x}^{2},g(x)=sinx g⋅f(x)=sinx2,f⋅g(x)=(sinx)2\begin{aligned} g\cdot f(x) = sin{x}^{2}, f\cdot g(x) = {(sinx)}^{2} \end{aligned}

计算

  1. 计算下面的式子∑k=1n(kp−(k−1)p)\sum_{k=1}^{n}({k}^{p}-{(k-1)^{p}})

    =(1p−0p)+(2p−1p)+⋅⋅⋅+(np−(n−1)p)∑k=1n(kp−(k−1)p)=np\begin{aligned} =({1}^{p} - {0}^{p})+({2}^{p}-{1}^{p})+ \cdot \cdot \cdot + ({n}^{p}-{(n-1)}^{p}) \\ \sum_{k=1}^{n}({k}^{p}-{(k-1)^{p}}) = {n}^{p} \end{aligned}

  2. 计算1+2+3…+n
    由恒等式k2−(k−1)2=2k−1{k}^{2}-{(k-1)}^{2} = 2k-1
    取k=1,2,3,4…n,相加得到

    ∑k=1n(k2−(k−1)2)=2∑k=1nk−∑k=1n1n2=2∑k=1nk−n,∑k=1nk=12n2+12n=n(n+1)2\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}({k}^{2}-{(k-1)}^{2}) &=2\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^n1 \\ {n}^{2} &= 2\sum_{k=1}^{n}k-n,\\ \sum_{k=1}^{n}k &= \frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n \\ & = \frac{n(n+1)}{2} \end{aligned}

  3. 计算不规则图形的面积
    假设坐标轴上有一条曲线，计算这条曲线与x轴y轴组成得面积，假设这个图形由y=xp{x}^{p}, OX轴和直线x=b围城，求这个图形得面积
    我们把[0,b]分成n等份，那第k个等分时

    [k−1nb,kn]k−1nb≤x≤knb,0≤y≤xp,k=1,2,3...,n\begin{aligned} [\frac{k-1}{n}b, \frac{k}{n}] \frac{k-1}{n}b\leq x \leq \frac{k}{n}b, 0\leq y \leq {x}^{p}, k=1,2,3...,n \end{aligned}

    那每一个条形得面积Sk{S}_{k}满足

    (k−1nb)p⋅bn≤Sk≤(knb)p⋅bn{(\frac{k-1}{n}b)}^{p}\cdot \frac{b}{n}\leq{S}_{k}\leq{(\frac{k}{n}b)}^{p}\cdot\frac{b}{n}

    那么曲线的面积S满足

    ∑k=1n(k−1nb)p⋅bn≤Sk≤∑k=1n(knb)p⋅bn\sum_{k=1}^{n}{(\frac{k-1}{n}b)}^{p}\cdot \frac{b}{n}\leq{S}_{k}\leq\sum_{k=1}^{n}{(\frac{k}{n}b)}^{p}\cdot\frac{b}{n}

    当n无限大时，近似值的精确度就越高，那么两个数的极限可以看作面积S
    求的它们共同的极限为 bp+1p+1\frac{b^{p+1}}{p+1}
    得到 S=bp+1p+1S=\frac{b^{p+1}}{p+1}

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